Задачи

РЕШЕНИЕ:

Чтобы построить - изображение точки , рассмотрим два луча, исходящие из точки :

1) параллельный главной оптической оси,

2) идущий через главный фокус.

После отражения, согласно правилам построения изображения в сферическом зеркале, они пересекутся в одной точке - это и есть изображение точки .

Поместим предмет между фокусом и оптическим центром зеркала и построим его изображение .

Для определения неизвестной величины воспользуемся формулами увеличения сферического зеркала

 и формулой сферического зеркала .

В этих формулах: , , . Произведём замену в формуле сферического зеркала

 

 

СФЕРИЧЕСКИЕ ЗЕРКАЛА

1.   Радиус кривизны вогнутого зеркала 80см. На каком расстоянии от зеркала нужно поместить предмет, чтобы его действительное изображение было вдвое больше предмета?

РЕШЕНИЕ: 

Построим изображение светящейся точки . Для этого используем два луча: луч , идущий вдоль главной оптической оси, и произвольный луч . После отражения луч пойдёт от зеркала вдоль главной оптической оси. Чтобы найти, как пойдёт луч после отражения от зеркала, проведём фокальную плоскость и побочную оптическую ось , параллельную лучу , которая пресечёт фокальную плоскость в точке . Через точку должен пройти и луч после отражения от зеркала ( ). (Повторите правила построения изображения в сферическом зеркале)

Изображение светящейся точки будет лежать на главной оптической оси в точке пересечения отражённых лучей.

Для определения главного фокусного расстояния , возьмём формулу сферического зеркала по условию задачи , подставим эти выражения в формулу зеркала , в результате математических преобразований получим

 

3.  Перед круглым выпуклым зеркалом на расстоянии 5см от экрана находится предмет высотой 3см. При каких положениях глаза наблюдатель увидит изображение всего предмета? Каковы наибольшие размеры предмета (при заданном расположении предмета, зеркала и экрана), при которых зеркало будет давать изображение всего предмета? Диаметр зеркала 10см.

РЕШЕНИЕ:

(чертёж)

Обозначим -предмет, - мнимое изображение предмета, - диаметр зеркала.

В точке будут пересекаться продолжения лучей, отражённых от зеркала и заключённых внутри конуса . В точке будут пересекаться продолжения лучей, отражённых от зеркала и заключённых внутри конуса . Чтобы увидеть изображение всего предмета, глаз наблюдателя должен находиться в пространстве перед зеркалом между лучами и .

Наибольшие размеры предмета определятся из подобия треугольников и (кривизной отрезка пренебрегаем):

, где - расстояние от предмета до экрана, - расстояние от экрана до зеркала.

 

 

 

4.   На каком расстоянии перед выпуклым сферическим зеркалом должен находиться предмет, чтобы его изображение получилось в 1,5 раза ближе к зеркалу, чем сам праедмет. Радиус кривизны зеркала 1,6м. Выполните соответствующий чертёж.

РЕШЕНИЕ:

По условию задачи , причём фокус у выпуклого зеркала мнимый.

( чертёж)

Для построения - изображения точки используем два луча:

Луч, идущий вдоль побочной оптической оси , который после отражения пойдёт в направлении к точке ;

Луч, падающий параллельно главной оптической оси, который после отражения пойдёт от зеркала по прямой, проходящей через главный фокус.

Полученное изображение будет мнимым, потому что пересекаются продолжения отражённых лучей. Теперь, опуская из точки перпендикуляр на главную оптическую ось, получаем изображение предмета . Полученное изображение является мнимым, уменьшенным и прямым.

Воспользуемся формулой сферического зеркала для этой задачи:

 

 

5.   Вогнутое зеркало поставлено против сходящегося пучка лучей так, что точка, где лучи пересекались, осталась за зеркалом на расстоянии 20см от его полюса . После отражения от зеркала лучи сошлись в одну точку на расстоянии, равном . Найдите - радиус кривизны зеркала.(чертёж)

РЕШЕНИЕ: Если поместить точечный источник света в точку , то его мнимое изображение окажется в точке .

Следовательно, если изображением считать точку , то для неё точка будет являться мнимым источником. (свойство обратимости световых лучей)

В этом случае формула вогнутого зеркала примет вид: . Минус перед дробью показывает, что предмет (источник) мнимый. Здесь , тогда

2.   Найдите главное фокусное расстояние зеркала, если светящаяся точка и её изображение лежат на главной оптической оси  вогнутого зеркала на расстоянии 16 и 100см соответственно от главного фокуса.